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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 /9]1v(b  
OL]f[3si  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. P-:**>7Z  
f>ts;I/3  
　　1、三角函数本质： OQtk'3VX#i  
I ykIH<&R  
　　三角函数的本质来源于定义 P\]Ef q  
OF|]  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 )2e.8m A<J  
awd29n)J   
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 n&.{`D}U  
Dcp  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Y/ G-eq  
$[[9  
　　推导： aZ5q8IuA  
|*%a-(9  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 zPG@L}5  
W59c wp-  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,7>U4i6  
[ 1p4  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ^NsvrK^  
jh":n3( 6  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 VflOn."b  
bU0Cj~@  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Wzg>u]y  
BtQKpz+  
　　[1] [ 3g|^8Z  
eL1wTkZ  
　　两角和公式 TSo?  
<%wPwu-_8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Q3Dw#$P9  
;k #~1E  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Mifu[=UK  
_**eC.fz|  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB dLX> r,  
?M/P<\@ z  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB &({WM_  
su4.u:R3W  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I%ww`x  
iNdb]i]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) U_T0YZ)  
dD t-4  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |Vk@  
1)W6f W}*  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) uCOk@k  
zgwGy6!sw  
倍角公式 g%8WJ-X  
?+8M.H!  
　　Sin2A=2SinA•CosA FqKjX C3  
x3\ypnZ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 E(1cj w  
pl UeMw#]  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6ij"At=  
awc^?Eu  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） %<<X3gxo>  
x^RkwY/_  
三倍角公式 +5W'aj6E,  
Jv9wS^[  
　　 <d"n 7-BJ  
2yS:LvPZ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) {'gnt|~KT  
?bnC3KKO  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) O3 5+  
/vuSOoFK  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) G0-s=@r\  
B~B|BJ.`  
三倍角公式推导 IioBud=K!  
:o0j>s  
　　sin3a 8 -qfF@c,  
.$" lHG_%  
　　=sin(2a+a) %F1vjy8 ';  
/-h_)f_7  
　　=sin2acosa+cos2asina BHew? ^(  
6XY)tKd  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina R'e4J>4  
;[So M'  
　　=3sina-4sin³a Jo6"($]FG  
!.XEb3?i  
　　cos3a qR']T!  
O./rKN+T  
　　=cos(2a+a) PtEGU`*5  
< B3Un`  
　　=cos2acosa-sin2asina |be <Z  
}"g%MH`N  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j>HZ]Q:  
U$VD| .*  
　　=4cos³a-3cosa ZOWAlur]4  
BXbVobTnF#  
　　sin3a=3sina-4sin³a @LpEvON  
4<0U{Su  
　　=4sina(3/4-sin²a) M8yEt-nB  
$+}"vV?u  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] '[bH!|@{{  
nl>Eei'v  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) t:{H {5  
9(eNMZF  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 6d;u#PmP(  
*$Px`pK  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]Gt2iwjW&  
y==+1#  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ujp'<Fg  
IlC@\2/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa W 7!SI;   
V?">nvcJ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Ex iZ/a!|  
!:A| c  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] -XD:J( o 8  
}*g,op]  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) YI}[01h{  
P/)Nk}1B  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) TK0o7jY  
p>0xPP  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} y,XV8vq  
us.x Ww<*  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ;6O?F{cSb  
VYe{E5  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] W r9 6Xj  
0UsATknmqO  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] S[paF.iL}  
xm?7c#  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) OOGyiTBm  
=do bk JZ2  
　　上述两式相比可得 a6D N  
gVn;{/a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) wv(9c%0  
aK]bxj\S=  
半角公式 ] ]Bas_Wq  
|O= e@+k  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Cu<^DfB   
BXZh4YFcn  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. M+m <Md`  
]#GJ?O[c  
和差化积 }~u^>  
maZkI2O  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 4B0TTA x  
iQ~J  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +NY*Ko=  
^xG3 >  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #[~9F8g  
eV >- j  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X-x F#ts  
7J]f1tMP,  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 5&. 0}$  
[DZG|y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) V-B;=Loz  
p baHPEt  
积化和差 `f@D)i L#  
ID4~\um37  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /8{Ho4O  
7Nbfu'\@  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &IaFX%XLv  
iHGCh?  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [o[b*/M$j  
.)jafSx5  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @4bg,TN  
%b4|Z  
诱导公式 AnhjUlISm  
/i-`|bn:0  
　　sin(-α) = -sinα a=/EI;B  
RCPXx|&p  
　　cos(-α) = cosα # -ZW4 e  
)By('~q6_  
　　sin(π/2-α) = cosα uk/dO   
<49lxvEzZ  
　　cos(π/2-α) = sinα T?k %m/  
Z-3@H06L  
　　sin(π/2+α) = cosα cmDzjpo  
ZtM%fmv\  
　　cos(π/2+α) = -sinα zBy[E'$  
 0)dPV  
　　sin(π-α) = sinα 3Q6<RWMF  
ul>iZU!402  
　　cos(π-α) = -cosα iEQBb  
"+hh8e"Gd  
　　sin(π+α) = -sinα 8#Sx4RK  
W&,HK`j~  
　　cos(π+α) = -cosα 3cV9+WOt  
"5ooT  
　　tanA= sinA/cosA Lg-$Dy$X*y  
+MN2<  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα T= #8ql83  
]"q2Z&g~  
　　tan（π/2－α）＝cotα 0'kRo|h1VX  
L:S^(:  
　　tan（π－α）＝－tanα iM- e#O  
<Er!'u[ I:  
　　tan（π＋α）＝tanα M+FXmqhD  
G3),o&  
万能公式 i\9,M1  
J2OO[~lyE  
　　 ti$'+0]]  
TrM}U  
其它公式 FeC=,sy  
[fAd9`  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 <9&Msemd  
s"tyQw*>  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 bBe)5ivXr  
7sABuLHsj  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gHwob-<r#R  
@D @(}H8  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a:R>B*f  
Xj)OV[!  
　　对于任意非直角三角形,总有 ;A'j4-@  
xz|j :V  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC t"sS  
Z;HF6}ZC  
　　证: s/@rAHJS  
zor& EL/L  
　　A+B=π-C OaP"e  
R'BS%\p  
　　tan(A+B)=tan(π-C) x*&vbq`  
7l` X/Nb:0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 1D[lyX  
aKk4Cnh)s  
　　整理可得 f I_#I  
&pq!LyQ+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]\S$u  
_,|:MUM  
　　得证 rAnA.!-  
Bk| 6v  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 [Uumc0=/i  
{~s NJ]-Y  
其他非重点三角函数 C^7"V+8v  
N5Ji>PN+*a  
　　csc(a) = 1/sin(a) Ivi :p  
@Fwp1X-  
　　sec(a) = 1/cos(a) 0D?NWV _E  
#2+m^?w)  
　　 I).fi=  
jb'(/i4}#  
双曲函数 h69!/u##  
o iuKiUm  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 )}O;2mM3R  
:$8 gT!MT  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +_)>&qX-}  
ykxpA+{A  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) >35\CRp  
"c3}W<X.)  
　　公式一： X5}k6  
vfn>GQ@:  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： X^kVLOP$g  
ge_vLuT5  
　　sin（2kπ＋α）= sinα X?Y<oUM.?  
/<O4:Ka?}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα z Cqtk  
cNE=  
　　tan（kπ＋α）= tanα m 9zL";CZ  
# A9T ':~  
　　cot（kπ＋α）= cotα 2*;)1Wh  
4&pUs} Iu  
　　公式二： -RPv)R  
w%uV?LQ!s"  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： hjXr7S=  
8O ]?8Z 7  
　　sin（π＋α）= -sinα z5u&MV5  
c4"z1rSR  
　　cos（π＋α）= -cosα Mw8aCwIW  
.D3f( 4G  
　　tan（π＋α）= tanα 1'i@Yi>7  
-XiYC.*y  
　　cot（π＋α）= cotα {qBNG*  
.P jC95Z5  
　　公式三： G;DB~{E_  
z6#' ~(vr  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： B3+W!+  
3v}3=^[  
　　sin（-α）= -sinα N+5z33 h[  
h]![F t  
　　cos（-α）= cosα $M5'i  
QN4a=]2V  
　　tan（-α）= -tanα <ci@ M' X>  
1;~ \AbJ  
　　cot（-α）= -cotα gb3M#n  
] lC=i_}N  
　　公式四： M>MV%/q4  
pG;q?OeH  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： OO#HPNP  
`S;nBx7U  
　　sin（π-α）= sinα O p 7JX(+  
, maV u[@|  
　　cos（π-α）= -cosα ">`dq%V$]  
,yw-P%bW>  
　　tan（π-α）= -tanα d`PW ! wDP  
iHMu mI  
　　cot（π-α）= -cotα !wxDaeQB4  
2lfe18=  
　　公式五： ^PZ);'R/M  
I HV(M/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 8l!(9j  
_+^Xu]}U  
　　sin（2π-α）= -sinα _Rqk Og{  
=Pv?%Cs"(  
　　cos（2π-α）= cosα " 0j'8j7P  
@x621pE  
　　tan（2π-α）= -tanα HI2VTN5  
gjR #L4!o  
　　cot（2π-α）= -cotα lY+DvU  
$8FBLIe  
　　公式六： cEv_ xMDY  
Ixq{aR?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： C@k! /a+  
c~G<kw}  
　　sin（π/2+α）= cosα -3Z{H9Jr&%  
(U)%[  
　　cos（π/2+α）= -sinα h |b&B$  
-rY`rv[  
　　tan（π/2+α）= -cotα 7 6Get44)  
?^&]jj[2z  
　　cot（π/2+α）= -tanα v[DAtnbu?  
L'? .a#  
　　sin（π/2-α）= cosα c{ r '  
w0;*.VWTit  
　　cos（π/2-α）= sinα ,.\XH9f  
7^ 4)P`  
　　tan（π/2-α）= cotα gN'!8;wR+  
n '6^:[I  
　　cot（π/2-α）= tanα 'j {_u".U  
~(=/W)?(dN  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &0SkJro9b;  
UX0_L%f1  
　　cos（3π/2+α）= sinα Iqx+QyU  
47f]`M&aqK  
　　tan（3π/2+α）= -cotα m+dC {!  
OdaYfey }Q  
　　cot（3π/2+α）= -tanα kV}OBK+  
FoY^\,v0-  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 8_k)B{q w  
cz[7}A  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *  h)3  
j$: 2(-cm  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1oUHxI3O  
3s/q)6qDrE  
　　cot（3π/2-α）= tanα `K:MuapQ  
O*4m!5ZG  
　　(以上k∈Z) ;x__Q\vS&  
Ygy a7u:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 n0,3W<  
\p[HJ8'~|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = N"ra2W}b?  
Kz,-h2 A  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } }_ EN631  
bUVhFW+m  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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