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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 {6Bn>U"M  
A=YZ)b  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4wmat.E1  
I"."gv`  
　　1、三角函数本质： f "#@:!z  
PraYWN #  
　　三角函数的本质来源于定义 zV^+m <oy  
CtncQV)f4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 h'!` Ugh  
2:x+4q  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ]jG0>$cq  
+YNMsfzL4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： [|zX\uJd_-  
#NkhZQ%S  
　　推导： 4x85SJp  
*LW=0uy  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9y -\=x4cX  
TGfa9W  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) zX,ARZ_~4  
mdJ[;Sly2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) yIF:ca6d  
w dm..R(u  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 y$P!9y G  
 QEvqjl  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） `Ro(8 q8  
(( Lo>3X;o  
　　[1] \i+9Pf?QnI  
nWSY~Vr<z  
　　两角和公式 %^yY/mt  
drc t<0_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ]m=25:K  
`FsfY/x]  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  V6|xBkt  
Gt1[~2 y  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ]5PZ8Bw5  
} {S"AE  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K{ZwgtD  
S8JQ"ZQ[  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !HB-N!aE  
55Va}ND$  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5a4v07o  
]\iFvarq  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Ems'`u{Q0  
yPq  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ]f[Sd)Lb}  
Re'w\y1  
倍角公式 +yWV(4FO  
E#j]3 $U  
　　Sin2A=2SinA•CosA i>'O}2  
DD ,5f+  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 J7)2Tjd@  
i1Z~quBfC  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ])?-w)  
T2$$S*V?  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ] xRDvnr  
~WFF g  
三倍角公式 >o@Mp27cJ  
? ;87(N  
　　 Cf5 p'  
.Nqi]w;]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) E5} =*Q*.  
h8U/.S %+  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;%Rjj..N  
U Y:O0A  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) _j_-9e84t  
~Az6wP  
三倍角公式推导 4`gU*w4 LO  
s{1o- (+  
　　sin3a /nG2e.>L  
jn| LEtJU  
　　=sin(2a+a) yD 4GGr1  
P)v{C }1t  
　　=sin2acosa+cos2asina ?68M~9JC  
Tmc*<tq}v  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina qCa,esMU7  
&i]bL dg  
　　=3sina-4sin³a P,A3ep  
_XZ[  
　　cos3a f$7JVzJ  
kHW@,/Le  
　　=cos(2a+a) 6F){,$si  
m kY^7LG  
　　=cos2acosa-sin2asina .7 d9YG  
xP#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -lVG(+-tE  
f_,g"_  
　　=4cos³a-3cosa :yU_f  
9 >t,~W  
　　sin3a=3sina-4sin³a '~C1va7W{  
C\DE "  
　　=4sina(3/4-sin²a) | Reow   
XdAg EC{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] BDRb^ +|  
\J_2v1  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) dR0PZ Y(  
Csrm@%fP]  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :W+?i/  
MyFKwD%u  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;Tkn4RcP.  
q;fGBL5  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 8aBK:  
l-4ABVjV  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 26 o&|:E  
6_;7~xy8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) !-Y+_o(d  
<rmh eT  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] EBw"B @J  
OL ~vN]  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) n NsEVUi  
PM+(S Y  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /U,q|&Z  
)Sy23D Z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} X]{|Gr\  
# z Qe/y  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) PWsMXcX<^  
@qKa.a,e%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ,bFw\A"  
Mg=(%mjPi  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,uu= $  
TNIc6EP  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |-ZE.z  
M<3?VCId  
　　上述两式相比可得 T+&} #  
]U\6Ut\]eQ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6.lQL@$@h  
S=O;  
半角公式 Q&TH0B*p  
l05Zxk]r  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); UG<Iq]?DO  
UJZo}zqh  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. gL4Ap'{V  
u*3RBjFr,*  
和差化积 L5V `  
3 zY3p@V  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] o}cW 8  
~y? k@x,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  d`3 _^=R  
W872%[7B  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Q;\$1;  
w /hoEM  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !n\y3,-&  
sIP/Ozn  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c|))CxFH  
V=upC_N@  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DnPop M;  
xA M7_t  
积化和差 qV< 7U;A  
)?#G=<}\  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Yv51# Al  
1:\gt;o^  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] U{dhpAU;  
uG'q]\b!  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] }?vUd|u_  
3(+!C!  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] f:5 2hI  
sLL'WuW6a7  
诱导公式 KzU|+sX*  
/~bc7x  
　　sin(-α) = -sinα 0O{B+@<T  
BBT \`Au  
　　cos(-α) = cosα D7V;&ldp  
1)")EdY1B/  
　　sin(π/2-α) = cosα `9Xd% cA8~  
p/ +P(dt  
　　cos(π/2-α) = sinα zCdj2/ ,  
<cs@'@N@B~  
　　sin(π/2+α) = cosα 0#>0.R3  
s =_(f~[  
　　cos(π/2+α) = -sinα @ ~G;kt  
[5HpVUsYz  
　　sin(π-α) = sinα Z{V]Q*C{  
B2EzExF2  
　　cos(π-α) = -cosα d-SLeXbC  
K nF~\[m  
　　sin(π+α) = -sinα 8U,QqTfF  
D:1%_4,/  
　　cos(π+α) = -cosα Zv~ F\n  
.8]{ aH@  
　　tanA= sinA/cosA 1' v$+  
rhEU > Xpx  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα MDWN,U^99  
hGvO lp  
　　tan（π/2－α）＝cotα v46qPWRUl  
1YDf Z9  
　　tan（π－α）＝－tanα eK*\TMLo  
0}N,<:%%^  
　　tan（π＋α）＝tanα @?>>.ek}  
yQL?N@ZG(  
万能公式 dv(i+G<  
= cyS([[  
　　 TR2{~|s-  
$CoTT wwG  
其它公式 , O8MOh"  
.uy]$VJ6  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 hwIc;<53{  
f'd42f-)  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 l!vt'bu*`  
`uc BI#}t  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 } 29  
'>68 k%1"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 cH/{ 9 2o  
* |he~>  
　　对于任意非直角三角形,总有 y6GZ!W%?y  
>%=k)K)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `}g/14M/!  
~`NB-YDo  
　　证: e($qA.X  
bj=)S-  
　　A+B=π-C [V3&ibj  
n;uGbX`k?  
　　tan(A+B)=tan(π-C) -xQc`  
~.bL8qTs  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ?hJq}1E=  
kl $L]  
　　整理可得 ?Xets   
j#r>m o4=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5=-~|'6  
(Q%F|  
　　得证 qo UWm=6  
9]W9qW@r  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 V%Jkt4rN  
N`TT&[G3*b  
其他非重点三角函数 KH4fW_  
xTn_r  
　　csc(a) = 1/sin(a) R/3t\?RJ  
KVX!u%  
　　sec(a) = 1/cos(a) j&HJ(C(Sk  
X^Ni**1t  
　　 jl  yb)  
dC3O^  
双曲函数 pyT7t@C2|  
I8CSWi|O  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 !ru9J|_H  
!'ny RVn  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Z @  
HnC!G%+  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ua8d.xe+  
zR 26K ^v  
　　公式一： ]P>NF f8+  
BC=1`3T  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Tz?R8:P%  
,=,/O X#{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα KS=YdhGj  
v#g(s  
　　cos（2kπ＋α）= cosα d-$@9xke  
\\{c,:-  
　　tan（kπ＋α）= tanα CC Q Tl  
jkS@U517  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8 pj0$+ ,  
$Sn ]$*)  
　　公式二： f T t Btxp  
+tLBlS=@  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Ad,$Cbc~  
X6CF{r  
　　sin（π＋α）= -sinα 0sF &buD  
U6k8 A0V  
　　cos（π＋α）= -cosα q3&si2 Q  
=^Pw.pnO  
　　tan（π＋α）= tanα 8@\]sZe-+-  
?"K@kM.3  
　　cot（π＋α）= cotα d1VG A'k0N  
CH( 1'  
　　公式三： -D-6tLo  
UNvyFG  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?Z7w+Yg  
}b:GG  
　　sin（-α）= -sinα Eg*VN;w  
 p$}u &m  
　　cos（-α）= cosα 1fE3&"$q&  
Q^zf'z.3  
　　tan（-α）= -tanα C'k J[  
<?e!VLU :  
　　cot（-α）= -cotα @/l88A=  
Eb!c jPis  
　　公式四： R(`fDR%N  
*$}zxk  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： W.cfNg h  
S6yd3pnr  
　　sin（π-α）= sinα 34;X"d E&t  
te_ZE]9l  
　　cos（π-α）= -cosα I[99}rU#@p  
,%J8qg.  
　　tan（π-α）= -tanα a+RnXG7&  
-J\cZL/u"  
　　cot（π-α）= -cotα ` mGE ^g  
0 zb}P[<  
　　公式五： pz9S$/L  
1c)p/:=  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： k"NZ6 D  
"p?*[.7  
　　sin（2π-α）= -sinα OP$3"9P]  
}%-<m/Bac  
　　cos（2π-α）= cosα 7;En5Fr'  
g6_g(Hk  
　　tan（2π-α）= -tanα *:?5n<l  
levsp  
　　cot（2π-α）= -cotα FSTd|LOF*  
 Bp!@bza;  
　　公式六： xT2Vy@g$h  
,O Z3>qKY  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ,h9SS5  
5# %iId]m{  
　　sin（π/2+α）= cosα  ^gMG`  
K`wq^*R  
　　cos（π/2+α）= -sinα /@ -Mq @]  
L5iZ 6P+  
　　tan（π/2+α）= -cotα O Z|qe(  
}'}{wW-2{"  
　　cot（π/2+α）= -tanα He P:]nw  
Vpm.v-Lg  
　　sin（π/2-α）= cosα PSj)9Y  
4ef>Z,kn1Q  
　　cos（π/2-α）= sinα -r_A%v8a  
# -9D:ael  
　　tan（π/2-α）= cotα Xz"GNs)jI  
{/tFki /  
　　cot（π/2-α）= tanα M:Qts`  
+x ":Q   
　　sin（3π/2+α）= -cosα 6dN@`pdY  
u&oR_]v  
　　cos（3π/2+α）= sinα P0XAL)O  
2w50-"G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &Ow`9;  
e}Z1 j  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ^OEMH{e  
vS}4Y}.)  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Iu_n8*e'  
; iIfelI  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 8q5 MNs.  
Lj# z=+X  
　　tan（3π/2-α）= cotα /:#7d[i  
dl[%O2 a  
　　cot（3π/2-α）= tanα )$ 4~}v$VZ  
%zW?E|T  
　　(以上k∈Z) `\crM-  
opYnh2  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 PCMugIQ  
rBXL}x8  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /J *o  
9].hJ-1 q)  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } .PfkS4q]#Y  
{s w; i  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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