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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 3^*"S$k"  
Cc#[h]   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. q3P=J :{o  
Og`Gf[6Q  
　　1、三角函数本质： 7me{l)[fP  
09aqwsW8X  
　　三角函数的本质来源于定义 .x Pf6rFW7  
TeBy>!  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 U{129b v  
DnO;QjkBI  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 |n[Z dl6  
 D#l+6++w  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： #~}=nM  
?GM<Db.7s$  
　　推导： es' ]bC  
itRAV%zq  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Lp| @N@  
izM=>?w  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) GiPZfpP^  
z XIi5zz  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) (2+Xm:S  
#=~{~EP  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 i9oHqz?r  
Z /X b.S  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 79u.7  
fc!-nP  
　　[1] GvYu>}y  
yj3YTwg>  
　　两角和公式 r;9R2Z5N  
{(G.>454  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB nX&7j{)V  
@]z bA]d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4~F[$? z  
s8*\YPZ/  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yPA( U  
E  %D6|  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB eHIu9CSC  
j%6fDlEM  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ^# ZIEe/3  
.iJ>MzT  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) <@8*  
,3<[EuQ78  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6YZ4d _{O  
<>UK5C[(  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) i(yI|Kp0{Z  
gD5.=! ^ "  
倍角公式 XGN%T :+~  
i"qN[iI r  
　　Sin2A=2SinA•CosA  / ^A  
1^H#(='  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %p)U>  
TL[B* Sf y  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） kTS zrEi?  
|I{#4" \1  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Q5 7IL` y  
DCrZhq5'?  
三倍角公式 emSM/hY6c  
tLBADQ  
　　 0DkEz#C<.  
%W+qa)6}-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +ZD glfu  
_.a>_aQ#>h  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) FIN0aG[  
r\9U 1hR7e  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) p_hFJiQ;@  
9-uiY=Oy  
三倍角公式推导 3D\F'-  
JHv%^{  
　　sin3a =]^ zdHds,  
d49:uj+!  
　　=sin(2a+a) w9Dc&Dq QU  
{5{bMVxI"  
　　=sin2acosa+cos2asina N_e!mX5S  
@40G  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina [9 8bVt  
GaqKjdO  
　　=3sina-4sin³a mt/qX9P  
3-QJe&<7z1  
　　cos3a (FxiKsr  
pTC,"Dz  
　　=cos(2a+a) B7G#!4gaf  
/Ywit&? E  
　　=cos2acosa-sin2asina bouO~iP{  
R}r[cH&}(  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ;*g/l0;M[  
;0k06N?  
　　=4cos³a-3cosa gCj@mzC  
Laj}Q/e/ZU  
　　sin3a=3sina-4sin³a :iPZ]  
1@ :4NV  
　　=4sina(3/4-sin²a) |@r29@S|  
0Q6b_Qfd"  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] \i$UF*!  
@\t%L\]{3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) U~j$$hc?tw  
s tEyE4ns  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) !A}/n{ek  
HNP:#W.%  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] c4sI0} SZ  
?_ XXCQ8d  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O}k@-G:N  
8^*9[nwYd  
　　cos3a=4cos³a-3cosa D%#(* !ZD  
hG )|^7  
　　=4cosa(cos²a-3/4) eX> >1 :A  
a45zNE1j&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ka=FDG  
3GxsFF9 ^@  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Hn2HA~  
K 30. Ur~  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) K/Bwkq   
fe'J@#o  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Nm{By tB  
#Lv!By  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) M: +*F  
I 0&$txE|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] KE'>J%}~>  
x3%Q+  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] $q rv4xy  
(BE3"l?r  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) clP'I]^5a  
ubb3*_[s`  
　　上述两式相比可得 !9q\=#  
?Ya:2^]<z  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c V~>` Dh  
Nldn vXN  
半角公式 L/=2(k)zl  
[Sca+ dm  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); M%js'QYx K  
L3+ B w  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. .t!<?6  
]WR8\Zl  
和差化积 hka}.W.A  
Gp\}{;L z!  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7k@,!p?  
ru>"SlgZ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _I+(z4g*+!  
{BWGYF^=e  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] dc"j{XO/  
!3^)x\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;Z@(lYUx  
'fy=QKx  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) zlL&< 5h  
&DVYZT;%|4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1U'}L1?L  
f fTG)t  
积化和差 >:D 8v~  
YhOkT,n^  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ;Mn1h26u:c  
rPQwv&A8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] lVd[ zK  
3h<"HVr`Cl  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ~ PMW5  
"~q 94fg#  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Y- }lux%  
eX@r-UF  
诱导公式 BXn34G!yD  
("X.a!h|  
　　sin(-α) = -sinα O7qpwa  
P^@~SiB  
　　cos(-α) = cosα &*WWb  
LQ\ {k W  
　　sin(π/2-α) = cosα 5Df6Fj  
o_QO EMI  
　　cos(π/2-α) = sinα SYT.wD\|)  
`p/6>?$  
　　sin(π/2+α) = cosα 0>V^ihs  
Bn%L~NUDZ]  
　　cos(π/2+α) = -sinα %[ %&#vq6<  
[B){-EK  
　　sin(π-α) = sinα N p|J '3  
Qdg|(@e  
　　cos(π-α) = -cosα ?MmRG;{1  
>"+z  
　　sin(π+α) = -sinα 5cDfpU!  
52#'z6-  
　　cos(π+α) = -cosα ~Dh`in` <M  
TlPL$Owv+  
　　tanA= sinA/cosA 3}&KOzy  
|TPqWb ]4=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα i%i > i  
}$K+W:  
　　tan（π/2－α）＝cotα |&,WB`vj  
C3<Q\WGk  
　　tan（π－α）＝－tanα [v0~x,+  
W^S)y. P  
　　tan（π＋α）＝tanα p} mH^T  
f$ bskU7i  
万能公式 ;sP&/bi  
Yk8/K^TM  
　　 D<dY@  
4d#gRm{I  
其它公式 N\bV-H?  
'> %&Yy  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ?DU?  
H%:Q@Xg~G  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 1>c!6ujh/  
IU9sIBQO  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 /ZJ"CE  
@a=EMjP  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ?9>+@]c  
J{m?  
　　对于任意非直角三角形,总有 g};}3%T:  
[mrq$Ni0H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC c^^T\iz^  
Lq{%LKGE  
　　证: RM 2z/qVvz  
(J/Dq ssH  
　　A+B=π-C <eb+eLrU*  
'i!9b$-  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @8| |W!3  
JF*>c h  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ]K 4K9\k  
QAg!=  
　　整理可得 =)$,"7/  
Z)!pEB=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC utZ>XY?+  
5| dih5  
　　得证 jm5.b J  
0~ $` }N  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 e2?i5~g  
@zQ O=  
其他非重点三角函数 {c7, [S  
].4>r&U  
　　csc(a) = 1/sin(a) .IK6p[  
CF[}n_ s=  
　　sec(a) = 1/cos(a) BL{z&f I\2  
W:y2q*pv  
　　 [~jk!|w@3  
LS : qTW  
双曲函数 p,ofT  
B0&[]]  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 R`o$T*^]  
v H0%75  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 m7ms+9-1S  
$ h%QXi\t  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) efBeW  
}^L5V?p  
　　公式一： 1T7~ a]X  
h'xN6wB-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： #8;%tFG&o@  
J"\6mRi  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 0I#L,  
NM+VL58c  
　　cos（2kπ＋α）= cosα JgFr7Aoa  
bS}3}YSa  
　　tan（kπ＋α）= tanα #Ls;Tw0K66  
MQ.<PR6PO  
　　cot（kπ＋α）= cotα ~VasO\,SW  
iQbHY_ai  
　　公式二： l/iN@5B  
KjzVPb hM  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： WM;9gxw@t  
sfN*eK  
　　sin（π＋α）= -sinα Hi bJ7X_"  
S$b|k_\  
　　cos（π＋α）= -cosα s|F*N;-K  
P-*-]J~o,  
　　tan（π＋α）= tanα 8Fcq S]  
ti8H;4li  
　　cot（π＋α）= cotα y@9$?'Tb  
'A4v gpd  
　　公式三： %H3X(w5$  
LfVI &Y$  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： *vW`$ j[V  
GyX0>rFN  
　　sin（-α）= -sinα _kRjm;{WML  
\P`'[ C  
　　cos（-α）= cosα 1mHso  
es.</rDH'  
　　tan（-α）= -tanα [ )I5p  
Cwq`WR&[  
　　cot（-α）= -cotα N? xy  
G}$rVb  
　　公式四： "S.;yF-Y  
/g@ sFpPP  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sCO`S(ppTp  
ayUms79  
　　sin（π-α）= sinα `?S _^3  
M%[A\?  
　　cos（π-α）= -cosα -9\ TY {  
'IZd"Mo  
　　tan（π-α）= -tanα /tf)Jf  
N=)AHxO/Tq  
　　cot（π-α）= -cotα CA;?Vi#!Tm  
Rpf!Vi  
　　公式五： AeMeW8Rad  
_f 2.US  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Mv;CyhL  
{j,Pg3Ie  
　　sin（2π-α）= -sinα Z{8,vE.:^  
4*BX2 :  
　　cos（2π-α）= cosα 6f .jR?  
eT$z<STnFW  
　　tan（2π-α）= -tanα r~<Qm`E  
JBBLz  
　　cot（2π-α）= -cotα K<TJxd?  
x,6xN}  
　　公式六： =*}Re0mP=  
o.A %I\A  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： b _ibCa-V  
# /1AO?m  
　　sin（π/2+α）= cosα \ O8 d  
E/QCf')r  
　　cos（π/2+α）= -sinα , \w){P@  
Q ! #-pI  
　　tan（π/2+α）= -cotα %;!_W.u9  
Ix;'"|  
　　cot（π/2+α）= -tanα WA^=.}'  
e qbmE6  
　　sin（π/2-α）= cosα {Ye=$Ff  
eW!~d|.  
　　cos（π/2-α）= sinα ixb{*zOd{  
ROs{+4$  
　　tan（π/2-α）= cotα 3N'OF.$>  
|| HX  
　　cot（π/2-α）= tanα _$<q(}Y  
g C_`dD B  
　　sin（3π/2+α）= -cosα (f *m)^X=  
o"YRBKY'  
　　cos（3π/2+α）= sinα VnURogF(zm  
O(d}=7e7  
　　tan（3π/2+α）= -cotα |dSzBh7  
fi$&`eBw{5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα T([,G0"m  
Vf\@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα O Kkc{  
B:sAYt/   
　　cos（3π/2-α）= -sinα $z4p:r"NF  
Y>M ]Ub  
　　tan（3π/2-α）= cotα a}l&d  
B |PSDQ0m  
　　cot（3π/2-α）= tanα 6_U/j~)  
sE^@"[vJ!O  
　　(以上k∈Z) 4,{rz=2i  
PQ:yJpT+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?Yp=qs0%y<  
ENJlQYYE  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = vjY H f  
Z")+cR'  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1AKQz%  
W u; <aFG[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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